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Sucesiones matemáticas: El poder de predecir el futuro

La sucesiones aritméticas son series de números que obedecen a un patrón o comportamiento. Eso significa que se puede predecir cuáles son todos los números de la sucesión.

Pueden ser números abstractos que no tienen sentido o pueden ser números en una situación de la vida real, que nos permiten predecir el futuro.

En el mundo de los negocios se usan todos los días, aunque no nos demos cuenta.

Qué son las sucesiones aritméticas

Una sucesión aritmética no es más que una serie de números. Pero no cualquier serie. Los números deben obedecer a un patrón lógico.

Eso significa que si conoces los primeros números de la sucesión, puedes predecir cuál es el siguiente y todos los demás que le siguen.

Las sucesiones aritméticas te permiten predecir el futuro, matemáticamente.

Por ejemplo. La serie de números

1, 8, 9, 30, 25

No es una sucesión pues no obedecen a ningún patrón. No se sabe cuál sigue.

Mientras que la serie

2, 5, 8, 11

Sí es una sucesión. Mírala bien y piensa cuál número va después del 11.

Si dijiste 14, acertaste.

Cada número es el resultado de sumar 3 al anterior.

Por eso, puedes afirmar que el número que sigue después de 14 es 17 y luego 20.

Incluso podrías escribir una fórmula matemática para determinar si un número cualquiera, elegido al azar, es parte de la sucesión o no lo es.

Así de simples pueden ser las sucesiones aritméticas.

Las sucesiones en la vida real.

Las matemáticas se ponen más interesantes cuando les encontramos un uso en la vida real.

Entonces, ¿para que sirven las sucesiones en la vida real?

Te permiten pronosticar el futuro con cierta precisión. Ojo que no es lo mismo que adivinar. Es totalmente diferente.

En una empresa, cuando estamos viendo una proyección hacia el mes entrante o el año siguiente, muy seguramente somos testigos del uso de sucesiones para predecir resultados futuros.

Ejemplo de sucesión: cría de conejos.

Por ejemplo, supón que quieres montar un negocio de venta de conejos y tienes una parejita: Yo-yo y Pelusa.

Supongamos que cada dos meses, Pelusa da a luz a 8 conejitos. Al cabo de 6 meses, ¿cuántos conejos tienes?

La sucesión sería así.

2, 10, 18, 26

El primer número es 2. Son Yo-yo y Pelusa. Al cabo de dos meses tienes 10 conejos. La parejita más los 8 conejos bebés (gazapos se llaman). Dos meses después, a los 10 conejos se le unen otros 8 y dos meses más tarde, 8 más. En total son 26.

Entonces, al cabo de seis meses (un semestre), tienes la nada despreciable cifra de 24 hijos y 2 papás. Cuando alguien dice «se reproducen como conejos«, ya sabes a qué se refieren. 😒

¿Cuántos hijos de Yo-yo y Pelusa tendrías al cabo de 1 año y 5 años?

Hagamos primero el cálculo de un año. La sucesión es

2, 10, 18, 26, 34, 42, 50

El total son 50 conejos entre padres e hijos, solo en un año.

Se puede observar ahí un patrón que se puede reducir a una fórmula.

Sabemos que llegan 8 conejos cada 2 meses. Lo que significa que en 12 meses llegan 6 camadas y en 60 meses llegan 30 camadas. Suena a que el número de meses se debe reducir a la mitad para saber la cantidad de camadas y luego multiplicar por 8 conejos que tiene cada una.

La fórmula sería

Total Conejos = 2 + (8 × Meses × ½). Recuerda que dividir por dos es lo mismo que multiplicar por ½ .

Probémosla con el ejercicio anterior para 12 meses.

Total Conejos = 2 + (8 × 12 × ½) = 2 + (8 × 6) = 2 + 48 = 50

Efectivamente. Hemos descubierto una fórmula que predice la cantidad de hijos que una pareja de conejos puede tener en cualquier momento durante su ciclo de vida.

Parece increíble que una sola conejita pueda dar a luz casi 50 gazapos en un solo año. Al menos, eso dice la teoría. Yo dudaría que fuera así en la práctica. No estamos considerando factores externos como las enfermedades y plagas.

¿Quieres intentar ahora calcular cuántos hijos [en teoría] podría engendrar Pelusa al cabo de 5 años?

Si tu resultado fue 242, ¡acertaste!

Si no, revisa tus cálculos. La solución es la siguiente.

Total Conejos = 2 + (8 × 60 × ½) = 2 + (8 × 30) = 2 + 240 = 242

Como la pregunta es, cuántos hijos podría engendrar Pelusa, la respuesta es 240 puesto que ni ella ni Yo-yuo fueron engendrados por ella misma.

Diferencia entre series aritméticas y geométricas

En el ejemplo anterior solamente calculamos la cantidad de hijos de Yo-yo y Pelusa. Pero resulta que esos hijos también pueden tener hijos con el tiempo, al alcanzar su madurez sexual.

Por tanto, si quisiéramos conocer la cantidad total de conejos en un momento dado, tendríamos que considerar la cantidad de nietos, biznietos, tataranietos, etc. de la parejita inicial.

Y ahí las cosas se empiezan a complicar. Ya nos metemos en el terreno de las series geométricas.

La diferencia entre las series aritméticas y las geométricas consiste en que en las aritméticas, cada número es el resultado de sumar o restar una cifra al número anterior. En las geométricas no se suma o resta sino que se multiplica o divide.

En las series aritméticas se suma o resta un número dado al número anterior de la serie. En las series geométricas, en lugar de sumar o restar, se multiplica o divide.

Ejemplo de serie geométrica.

Serie geométrica. 2, 16, 128, 1.024

En esta serie, cada número es el resultado de multiplicar por ocho el número anterior.

Recordemos cómo era la sucesión aritmética que usábamos antes.

Seria aritmética. 2, 10, 18, 26

Ambas empiezan en 2. En la aritmética se suma 8 al anterior, mientras que la geométrica se multiplica por 8 el anterior.

Crece mucho más rápido la geométrica que la aritmética. En la serie aritmética el cuarto número es 26 mientras que en la geométrica es un poco más de mil. ¡Qué diferencia!

Cómo puedo aprender más de sucesiones

En mi página favorita para aprender matemáticas hay suficientes ejercicios sobre ambos tipos de sucesiones.

Te sugiero seguir este enlace para sucesiones aritméticas y este otro para sucesiones geométricas.

Las lecciones en cada caso, para tu ilustración, son estas.

Lecciones sobre sucesiones aritméticas en Khan Academy

A la derecha (abajo en celulares) ves las lecciones y ejercicios de Khan Academy para aprender lo esencial sobre sucesiones aritméticas.

Lecciones y ejercicios sobre sucesiones geométricas.

Eso es todo por ahora.

Si quieres aprender más de matemáticas para presentar la Prueba Saber 11 del ICFES que otorga diploma de bachiller, te recomiendo mi curso Objetivo Once, el método probado con éxito para validar el bachillerato.

No olvides dejar tus comentarios o preguntas abajo.

Buen ánimo y buen genio.

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